Question

7．若不等式（-1）ⁿa＜2+$\frac{1}{n}$（-1）ⁿ⁺¹對(duì)?n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 若n為正奇數(shù)，-a＜2+$\frac{1}{n}$恒成立?-a＜（2+$\frac{1}{n}$）_min，可解得：a≥-2；若n為正偶數(shù)，a＜2-$\frac{1}{n}$恒成立?-a＜（2-$\frac{1}{n}$）_min，利用函數(shù)的單調(diào)性可得a≤$\frac{3}{2}$．從而可得答案．

解答 解：若n為正奇數(shù)，則-a＜2+$\frac{1}{n}$恒成立?-a＜（2+$\frac{1}{n}$）_min，由于y=2+$\frac{1}{n}$為減函數(shù)，當(dāng)n→+∞時(shí)，y→0，故-a≤2，解得：a≥-2；
若n為正偶數(shù)，則a＜2-$\frac{1}{n}$恒成立?-a＜（2-$\frac{1}{n}$）_min，由于y=2-$\frac{1}{n}$為增函數(shù)，當(dāng)n=2時(shí)，y=2-$\frac{1}{n}$取得最小值（2-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{2}$，故a≤$\frac{3}{2}$．
因?yàn)椴坏仁剑?1）ⁿa＜2+$\frac{1}{n}$（-1）ⁿ⁺¹對(duì)?n∈N*恒成立，
所以，-2≤a≤$\frac{3}{2}$．
故答案為：[-2，$\frac{3}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，考查邏輯思維能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題．