Question

（本小題滿分13分）如圖，已知三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，且側(cè)棱垂直于底面，由沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱到點(diǎn)的最短路線長(zhǎng)為,設(shè)這條最短路線與的交點(diǎn)為．

（1）求三棱柱的體積；
(2)在面內(nèi)是否存在過(guò)的直線與面平行？證明你的判斷；
（3）證明：平面⊥平面．

Answer 1

平面A₁BD內(nèi)存在過(guò)點(diǎn)D的直線與平面ABC平行．

解：(1)如圖，將側(cè)面BB₁C₁C繞棱CC₁旋轉(zhuǎn)120°，
使其與側(cè)面AA₁C₁C在同一平面上，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到
點(diǎn)B₂的位置，連接A₁B₂，則A₁B₂就是由點(diǎn)B沿
棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC₁到點(diǎn)A₁的最短路線．
設(shè)棱柱的棱長(zhǎng)為，則B₂C=AC=AA₁＝,
∵CD∥AA_1　，∴為的中點(diǎn)．                              ………2分
在Rt△A₁AB₂中，由勾股定理得，
即　，解得，∵，
∴．                                  ………5分
(2)設(shè)A₁B與AB₁的交點(diǎn)為O,連結(jié)BB₂,OD，則．
∵平面，平面，   ∴平面，
即在平面A₁BD內(nèi)存在過(guò)點(diǎn)D的直線與平面ABC平行．               ………9分
(3)連結(jié)AD,B₁D∵≌≌≌，
∴，  ∴．
∵ ，，  
∴平面A₁ABB₁，又∵平面A₁BD． 
∴平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁．                                 ………13分