Question

已知曲線C：

y2

m

+x²=1；
（1）由曲線C上任一點E向x軸作垂線，垂足為F，點P在

EF

上，且 

EP

=-

1

3

PF

．問：點P的軌跡可能是圓嗎？請說明理由；
（2）如果直線l的斜率為

2

，且過點M（0，-2），直線l交曲線C于A，B兩點，又

MA

•

MB

=-

9

2

，求曲線C的方程．

Answer 1

分析：（1）由于 

EP

=-

1

3

PF

而點E在曲線C上F點也易求故可用點P的坐標表示E點的坐標再將E點的坐標代入曲線C的方程化簡整理再討論即可．
（2）根據(jù)題中的條件易求直線L的方程：y=

2

x-2而求曲線C的方程即求m故需利用題中條件

MA

•

MB

=-

9

2

這需用點M，A，B的坐標求出

MA

，

MB

故須設(shè)出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）即可求出

MA

•

MB

=x1x2+(y1+2)(y2+2)=3x₁x₂故需直線方程y=

2

x-2與曲線C：

y2

m

+x²=1聯(lián)立求出x₁x₂代入求出m即可得解．

解答：解：（1）設(shè)E（x₀，y₀），P（x，y）則F（x₀，0）
∵

EP

=-

1

3

PF

∴(x-x0，y-y0)=-

1

3

(x0-x，-y)
∴

x0=x y0= 2 3 y

代入

y02

m

+x02=1中，得

4y2

9m

+x2=1為P點軌跡方程．
    當(dāng)m=

4

9

時軌跡是圓．
（2）由題設(shè)知直線的方程為y=

2

x-2，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）聯(lián)立方程組可得

y= 2 x-2 y2 m +x2=1

     消去y得：（m+2）x²-4

2

x+4-m=0
∵方程有兩解
∴m+2≠0且△＞0
∴m＞0或m＜0且m≠-2
∵

MA

=(x1， y1)，

MB

=(x2，y2+2)而

MA

•

MB

=x1x2+(y1+2)(y2+2)=3x₁x₂
∵x1x2=

4-m

m+2

且

MA

•

MB

=-

9

2

∴

4-m

m+2

= -

3

2

∴m=-14∴曲線C的方程是x2-

y2

14

= 1

點評：本題考查了向量與圓錐曲線的綜合．第一問著重考查了利用向量相等和相關(guān)點法求動點的軌跡方程這是求軌跡方程中經(jīng)常用到的一種方法．第二問著重考查了利用向量的數(shù)量積的坐標計算及方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)m的值，求解此問的關(guān)鍵是求出的m的值須使聯(lián)立方程后的方程：（m+2）x²-4

2

x+4-m=0有兩個不相等的實根即需在m＞0或m＜0且m≠-2的范圍內(nèi)！