設數(shù)列|an|的前n項和為Sn,且a1=4,Sn=nan-
n(n-1)
2
(n∈N*),數(shù)列|bn|滿足b1=4,且bn=bn-12-(n-2)bn-1-2(n≥2,n∈N*
(1)求數(shù)列|an|的通項公式;
(2)求證:bn>an(n≥2,n∈N*);
(3)求證:(1+
1
b2b3
)(1+
1
b3b4
)(1+
1
b4b5
)…(1+
1
bnbn+1
)<
3e
(n≥2,n∈N*)(注:e是自然對數(shù)的底數(shù)).
考點:數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)利用n≥2時,an=sn-sn-1,兩式作差求通項公式;
(2)利用數(shù)學歸納法證明即可;
(3)構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,利用導數(shù)證得ln(1+x)<x,故ln(1+
1
bnbn+1
)<
1
bnbn+1
1
(n+1)(n+2)
=
1
n+1
-
1
n+2
,裂項求和得ln(1+
1
b2b3
)+ln(1+
1
b3b4
)+…+ln(1+
1
bnbn+1
)<
1
3
-
1
4
+…+
1
n+1
-
1
n+2
=
1
3
-
1
n+2
1
3
,即得結(jié)論成立.
解答: 解:(1)當n≥2時,Sn=nan-
n(n-1)
2
(n∈N*),Sn-1=(n-1)an-1-
(n-1)(n-2)
2
,
可得an=nan-(n-1)an-1-n+1,∴an-an-1=1(n≥2,n∈N*
∴數(shù)列{an}是首項為4,公差為1的等差數(shù)列,
∴an=n+3
(2)1°當n=2時,b2=
b
2
1
-2=14>a2=5不等式成立;
2°假設當n=k(k≥2,k∈N*)時,不等式成立,即bk>k+3,
那么,當n=k+1時,bk+1=
b
2
k
-(k-1)bk-2=bk(bk-k+1)-2>2bk-2>2(k+1)-2=2k≥k+2,
所以當n=k+1時,不等式也成立;
根據(jù)(1°),(2°)可知,當n≥2,n∈N*時,bn>an
(3)設f(x)=ln(1+x)-x,f′(x)=
1
1+x
-1=
-x
1+x
<0,
∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,∴f(x)<f(0),∴l(xiāng)n(1+x)<x
∵當n≥2,n∈N*時,
1
bn
1
an
=
1
n+1
,
∴l(xiāng)n(1+
1
bnbn+1
)<
1
bnbn+1
1
(n+1)(n+2)
=
1
n+1
-
1
n+2
,
∴l(xiāng)n(1+
1
b2b3
)+ln(1+
1
b3b4
)+…+ln(1+
1
bnbn+1
)<
1
3
-
1
4
+…+
1
n+1
-
1
n+2
=
1
3
-
1
n+2
1
3
,
∴(1+
1
b2b3
)(1+
1
b3b4
)(1+
1
b4b5
)…(1+
1
bnbn+1
)<
3e
(n≥2,n∈N*).
點評:本題主要考查利用定義判斷數(shù)列是等差數(shù)列及利用數(shù)學歸納法證明不等式成立等知識,考查通過構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的思想方法,屬難題.
練習冊系列答案
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試證當n為正整數(shù)時,f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(x2-2x)•lnx+ax2+2
(Ⅰ)當a=-1時,求f(x)在(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)設函數(shù)g(x)=f(x)-x-2;
(i)若函數(shù)g(x)有且僅有一個零點時,求a的值;
(ii)在(i)的條件下,若e-2<x<e,g(x)≤m,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知曲線f(x)=ex+x
(1)求曲線在點P(1,f(1))處的切線方程;
(2)若點Q為曲線y=f(x)上到直線y=2x-1距離最近的點,求點Q的坐標.

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某高校為了了解參加該校自主招生考試的男女生數(shù)學成績的情況,按照分層抽樣分別抽取了10名男生和5名女生作為樣本,他們數(shù)學成績的莖葉圖如圖所示,其中莖為十位數(shù),葉為個位數(shù).
(Ⅰ)若該班男女生平均分數(shù)相等,求x的值;
(Ⅱ)若規(guī)定85分以上為優(yōu)秀,在該5名女生中隨機抽取2名,求至少有一人數(shù)學成績優(yōu)秀的概率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=lnx+ex,g(x)=ex+
1
2
x2-ax(a∈R)(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))
(1)若F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)定義:若函數(shù)φ(x)在定義域為[m,n](m<n)上的值域為[m,n],則稱區(qū)間[m,n]為函數(shù)φ(x)的“同域區(qū)間”,當a=
3
2
時,函數(shù)F(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)是否存在“同域區(qū)間”?請說明理由;
(3)當a>1時,對于區(qū)間(2,3)內(nèi)任意兩個不相等的實數(shù)x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|成立,求a的取值范圍.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)=
3
sinxcosx-cos2x+
1
2

(1)寫出f(x)的最小正周期T;
(2)求由y=f(x)(0≤x≤
6
),y=0(0≤x≤
6
),x=
6
(-1≤y≤0)以及x=0(-
1
2
≤y≤0)圍成的平面圖形的面積.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設a>0,若an=
(3-a)n-3,(n≤7)
an-6,(n>7)
且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

一個幾何體的正視圖和俯視圖如圖所示,其中俯視圖是一個圓內(nèi)切于一個正三角形,則該幾何體的側(cè)視圖的面積為
 

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同步練習冊答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屻倝宕妷锔芥瘎婵炲濮甸懝楣冨煘閹寸偛绠犻梺绋匡攻椤ㄥ棝骞堥妸褉鍋撻棃娑欏暈鐎规洖寮堕幈銊ヮ渻鐠囪弓澹曢梻浣虹帛娓氭宕板☉姘变笉婵炴垶菤濡插牊绻涢崱妯哄妞ゅ繒鍠栧缁樻媴閼恒儳銆婇梺闈╃秶缁犳捇鐛箛娑欐櫢闁跨噦鎷� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙绀冩い鏇嗗洤鐓橀柟杈鹃檮閸嬫劙鏌涘▎蹇fЧ闁诡喗鐟х槐鎾存媴閸濆嫷鈧矂鏌涢妸銉у煟鐎殿喖顭锋俊鎼佸煛閸屾矮绨介梻浣呵归張顒傜矙閹达富鏁傞柨鐕傛嫹