Question

△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c；則下列命題正確的

 

①若ab＞c²；則c＜

π

3

②若a+b＞2c；則c＜

π

3

③若a³+b³=c³；則c＜

π

2

④若（a+b）c＜2ab；則c＞

π

2

⑤若（a²+b²）c²＜2a²b²；則c＞

π

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：①利用余弦定理結(jié)合均值不等式．②利用余弦定理，再結(jié)合均值定理即可證明．③利用反證法，假設(shè)C≥

π

2

時(shí)，推出與題設(shè)矛盾，即可證明此命題正確．④取特殊值，在滿足條件的情況下，判斷角C的大小；⑤舉一個(gè)反例說明，取a=b=

2

，c=1滿足題意，但是C＜

π

3

．

解答： 解：①∵a²+b²≥2ab，
∴由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∵ab＞c²，
∴-c²＞-ab，
∴cosC═

a2+b2-c2

2ab

≥

2ab-ab

2ab

=

1

2

，即0＜C＜

π

3

，選項(xiàng)①正確；
②∵a+b＞2c，
∴（a+b）²＞4c²，即c²＜

(a+b)2

4

，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

，即0＜C＜

π

3

，選項(xiàng)②正確；
③假設(shè)C≥

π

2

，則c²≥a²+b²，
∴c³≥ca²+cb²＞a³+b³，與a³+b³=c³矛盾，
∴假設(shè)不成立．即C＜

π

2

成立，選項(xiàng)③正確；
④取a=b=2，c=1，滿足（a+b）c＜2ab得C為銳角，選項(xiàng)④錯(cuò)誤；
⑤取a=b=

2

，c=1，滿足（a²+b²）c²＜2a²b²，此時(shí)有C＜

π

3

，故⑤錯(cuò)誤；
則命題正確的是①②③．
故答案為：①②③

點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，反證法，以及特值法，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．