Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ ax2+x，a∈R．
（1）若f（1）=0，求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若a=﹣2，正實(shí)數(shù)x1 ， x2滿足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，證明x1+x2≥ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閒（1）= ，所以a=2．

此時(shí)f（x）=lnx﹣x2+x，x＞0，

，

由f'（x）=0，得x=1，所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)有極大值，也是最大值，所以f（x）的最大值為f（1）=0．

（2）解： ，

所以 ．

當(dāng)a≤0時(shí)，因?yàn)閤＞0，所以g′（x）＞0．

所以g（x）在（0，+∞）上是遞增函數(shù)，

當(dāng)a＞0時(shí)， ，

令g′（x）=0，得 ．

所以當(dāng) 時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng) 時(shí)，g′（x）＜0，

因此函數(shù)g（x）在 是增函數(shù)，在 是減函數(shù)．

綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)g（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞），無遞減區(qū)間；

當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)g（x）的遞增區(qū)間是 ，遞減區(qū)間是 ．

（3）解：由x1＞0，x2＞0，即x1+x2＞0．

令t=x1x2，則由x1＞0，x2＞0得， ．t＞0

可知，φ（t）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．

所以φ（t）≥φ（1）=1，

所以 ，解得 或 ．

又因?yàn)閤1＞0，x2＞0，

因此 成立．

【解析】（1）先求出a的值，然后求原函數(shù)的極值即可；（2）求導(dǎo)數(shù)，然后通過研究不等式的解集確定原函數(shù)的單調(diào)性；（3）結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到要證的結(jié)論．