Question

【題目】如圖，已知圓O是△ABC的外接圓，AB=BC，AD是BC邊上的高，AE是圓O的直徑．過點C作圓O的切線交BA的延長線于點F．

（1）求證：ACBC=ADAE；
（2）若AF=2，CF=2 ，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖所示，連接BE．

∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE=90°．

又∠E與∠ACB都是 所對的圓周角，

∴∠E=∠ACB．

∵AD⊥BC，∠ADC=90°．

∴△ABE∽△ADC，

∴AB：AD=AE：AC，

∴ABAC=ADAE．

又AB=BC，

∴BCAC=ADAE．

（2）解：∵CF是⊙O的切線，

∴CF2=AFBF，

∵AF=2，CF=2 ，

∴（2 ）2=2BF，解得BF=4．

∴AB=BF﹣AF=2．

∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，

∴△AFC∽△CFB，

∴AF：FC=AC：BC，

∴AC= = ．

∴cos∠ACD= ，

∴sin∠ACD= =sin∠AEB，

∴AE= =

【解析】（1）如圖所示，連接BE．由于AE是⊙O的直徑，可得∠ABE=90°．利用∠E與∠ACB都是 所對的圓周角，可得∠E=∠ACB．進而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（2）利用切割線定理可得CF2=AFBF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得AF：FC=AC：BC，進而根據(jù)sin∠ACD=sin∠AEB，AE= ，即可得出答案．