已知函數(shù)f(x)=(x-1)2,g(x)=k(x-1),函數(shù)f(x)-g(x)其中一個零點為5,數(shù)列{an}滿足a1=
k2
,且(an+1-an)g(an)+f(an)=0.
(1)求數(shù)列{an}通項公式;
(2)求S{an}的最小值(用含有n的代數(shù)式表示);
(3)設bn=3f(an)-g(an+1),試探究數(shù)列{bn}是否存在最大項和最小項?若存在求出最大項和最小項,若不存在,說明理由.
分析:首先確定k的值,利用(an+1-an)g(an)+f(an)=0.推出4an+1=3an+1
(1)構造數(shù)列{an-1},然后求出數(shù)列{an}通項公式;或者構造數(shù)列{an-an-1},再解出an-an-1,然后再求出數(shù)列{an}通項公式;
(2)通過數(shù)列an,求出前n項和;然后求S{an}的最小值(用含有n的代數(shù)式表示);
(3)表示出bn=3f(an)-g(an+1),化簡為n的函數(shù),利用換元法,確定其最值,求出最大值及最小值.
解答:解:(1)函數(shù)f(x)-g(x)有一個零點為5,即方程(x-1)2-k(x-1)=0,有一個根為5,
將x=5代入方程得16-4k=0,
∴k=4,
∴a1=2(2分)
由(an+1-an)g(an)+f(an)=0得4(an+1-an)(an-1)+(an-1)2=0(an-1)(4an+1-4an+an-1)=0
∴an-1=0或4an+1-4an+an-1=0
由(1)知a1=2,
∴an-1=0不合舍去
由4an+1-4an+an-1=0得4an+1=3an+1(4分)
方法1:由4an+1=3an+1得an+1-1=
3
4
(an-1)

∴數(shù)列{an-1}是首項為a1-1=1,公比為
3
4
的等比數(shù)列
an-1=(
3
4
)n-1

an=(
3
4
)n-1+1

〔方法2:由4an+1=3an+1①得當n≥2時4an=3an-1+1②
①-②得4(an+1-an)=3(an-an-1
an+1-an
an-an-1
=
3
4
(n≥2)即數(shù)列{an-an-1}是首項為a2-a1,公比為
3
4
的等比數(shù)列
a2-a1=
1
4
-
1
4
a1=-
1
4
,∴an+1-an=-
1
4
•(
3
4
)n-1

由①得an+1=
3
4
an+
1
4
代入③整理得an=(
3
4
)n-1+1
(6分)
(2)由(1)知an=(
3
4
)n-1+1

n
i=1
ai=1+
3
4
+(
3
4
)2++(
3
4
)n-1+n

=
[1-(
3
4
)
n
]
1-
3
4
+n=4[1-(
3
4
)n]+n
(8分)
∵對?n∈N*,有(
3
4
)n
3
4

1-(
3
4
)n≥1-
3
4
=
1
4

4[1-(
3
4
)n]+n≥1+n
,即
n
i=1
ai≥1+n

即所求S{an}的最小值為1+n.(10分)
(3)由bn=3f(an)-g(an+1)得bn=3(an-1)2-4(an+1-1)
bn=3[(
3
4
)n-1]2-4(
3
4
)n
=3{[(
3
4
)n-1]2-(
3
4
)n-1}
(12分)
u=(
3
4
)n-1
,則0<u≤1,bn=3(u2-u)=3[(u-
1
2
)2-
1
4
]

∵函數(shù)bn=3[(u-
1
2
)2-
1
4
]
[
1
2
,1]
上為增函數(shù),在(0,
1
2
)
上為減函數(shù)(14分)
當n=1時u=1,
當n=2時u=
3
4
,
當n=3時,u=(
3
4
)2=
9
16

當n=4時u=
27
64
,
27
64
1
2
9
16
3
4
<1
,且|
1
2
-
27
64
|>|
1
2
-
9
16
|
(16分)
∴當n=3時,bn有最小值,即數(shù)列{bn}有最小項,最小項為b3=3[(
9
16
)2-
9
16
]=-
189
256

故當n=1即u=1時,bn有最大值,即數(shù)列{bn}有最大項,
最大項為b1=3(1-1)=0.(18分)
點評:本題考查函數(shù)的零點,數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式,考查分析問題解決問題的能力,計算能力,是中檔題.
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(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實數(shù)m的范圍.

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已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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