若xn=
1×2
+
2×3
+…+
n(n+1)
（n為正整數(shù)），
求證：不等式  
n(n+1)
2
＜x n＜
(n+1)2
2
對(duì)一切正整數(shù)n恒成立．
分析：先對(duì)式子：xn=
1×2
+
2×3
+…+
n(n+1)
的通項(xiàng)進(jìn)行放縮：n＜
n(n+1)
＜ n+
1
2
，再左右兩邊分別求和，即可證得結(jié)論．
解答：證明：∵n＜
n(n+1)
＜ n+
1
2

∴1+2+3+…+n＜
1×2
+
2×3
+…+
n(n+1)
＜(1+
1
2
)+(2+
1
2
)+…+(n+
1
2
)
即：
n(n+1)
2
＜x n＜
n2+2n
2

∴
n(n+1)
2
＜x n＜
(n+1)2
2
．
∴不等式  
n(n+1)
2
＜x n＜
(n+1)2
2
對(duì)一切正整數(shù)n恒成立．．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明（關(guān)鍵是去掉根式），以及數(shù)列求和、及放縮法．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在xoy平面上有一系列點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…，對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，以點(diǎn)Pn為圓心的⊙Pn與x軸及射線y=
3
x，（x≥0）都相切，且⊙Pn與⊙Pn+1彼此外切．若x1=1，且xn+1＜xn（n∈N*）．
（1）求證：數(shù)列{xn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)為正，且滿足an≤
xnan-1
xn+an-1
，a1=1，
求證：a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn＜
5
4
-
1
3n-1
，（n≥2）
（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列{an}，當(dāng)n＞1時(shí)，求證：(1-an)2[
a
2
2
(1-
a
2
2
)2
+
a
3
3
(1-
a
3
3
)2
+…+
a
n
n
(1-
a
n
n
)2
]＞
4
5
-
1
1+an+
a
2
n
+…+
a
n
n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：江西省師大附中2012屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：013

已知函數(shù)f(x)＝3x－2，x∈R．規(guī)定：給定一個(gè)實(shí)數(shù)x0，賦值x1＝f(x0)，若x1≤244，則繼續(xù)賦值x2＝f(x1)，…，以此類推，若xn－1≤244，則xn＝f(xn－1)，否則停止賦值，如果得到xn稱為賦值了n次(n∈N*)．已知賦值k次后該過(guò)程停止，則x0的取值范圍是

[　　]
A．

(3k－6，3k－5]

B．

(35－k＋1，36－k＋1]

C．

(3k－6＋1，3k－5＋1]

D．

(34－k＋1，35－k＋1]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：江西省臨川二中、新余四中2012屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)理科試題 題型：013

已知函數(shù)f(x)＝3x－2，x∈R．規(guī)定：給定一個(gè)實(shí)數(shù)x0，賦值x1＝f(x0)，若x1≤244，則繼續(xù)賦值x2＝f(x1)，…，以此類推，若xn－1≤244，則xn＝f(xn－1)，否則停止賦值，如果得到xn稱為賦值了n次(n∈N*)．已知賦值k次后該過(guò)程停止，則x0的取值范圍是

[　　]

A．(3k－6，3k－5]

B．(35－k＋1，36－k＋1]

C．(3k－6＋1，3k－5＋1]

D．(34－k＋1，35－k＋1]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

若xn=
1×2
+
2×3
+…+
n(n+1)
（n為正整數(shù)），
求證：不等式  
n(n+1)
2
＜x n＜
(n+1)2
2
對(duì)一切正整數(shù)n恒成立．

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