Question

已知數(shù)列{x_n}滿足下列條件：x₁=a，x₂=b，x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0（n∈N^*且n≥2），其中a、b為常數(shù)，且a＜b，λ為非零常數(shù)．
（Ⅰ）當λ＞0時，證明：x_n+1＞x_n（n∈N^*）；
（Ⅱ）當|λ|＜1時，求．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：∵x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0（n∈N^*且n≥2），λ為非零常數(shù)，
∴x_n+1-x_n=λ（x_n-x_n-1），
∵x₁=a，x₂=b，其中a、b為常數(shù)，且a＜b，
∴x₂-x₁=b-a＞0，
∴數(shù)列{x_n+1-x_n}是首項為b-a，公比為λ的等比數(shù)列，
故，
∵λ＞0，
∴x_n+1-x_n＞0，
即x_n+1＞x_n（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵x₁=a，x₂=b，x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0（n∈N^*且n≥2），
其中a、b為常數(shù)，且a＜b，λ為非零常數(shù)．
∴x_n+1-λx_n=x_n-λx_n-1=…=x₂-λx₁=b-λa，
即x_n+1-λx_n=b-λa，
∴λx_n=x_n+1-（b-λa），①
∵x_n+1＞x_n（n∈N^*），，
∴，②
②-①，得（1-λ）x_n=b-λa-（b-a）•λ^n-1，
∴，
∵|λ|＜1，
∴，
∴==．
分析：（Ⅰ）由題設得x_n+1-x_n=λ（x_n-x_n-1），由x₂-x₁=b-a＞0，知：數(shù)列{x_n+1-x_n}是首項為b-a，公比為λ的等比數(shù)列，由此能夠證明x_n+1＞x_n（n∈N^*）．
（Ⅱ）由x_n+1-λx_n=x_n-λx_n-1=…=x₂-λx₁=b-λa及x_n+1＞x_n（n∈N^*），知，由|λ|＜1，知，由此能求出．
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，注意極限的靈活運用．