Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=log₂（5-|x+1|-|x-2|）的定義域為D．
（1）求集合D；
（2）設(shè)a，b∈D，證明：$|{a+b}|＜|{3+\frac{ab}{3}}|$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出不等式的解集，從而求出集合D即可；
（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)證明即可．

解答 （1）解：|x+1|+|x-2|＜5，
當(dāng)x≥2時，|x+1|+|x-2|=2x-1＜5，解得2≤x＜3，
當(dāng)-1＜x＜2時，|x+1|+|x-2|=3＜5恒成立，
當(dāng)x≤-1時，-1-x-x+2＜5，解得-2＜x≤-1，
綜上，定義域D={x|-2＜x＜3}．
（2）證明：原不等式?3|a+b|＜|9+ab|
?9a²+18ab+9b²＜81+a²b²+18ab
?（a²-9）（b²-9）＞0．
由a，b∈D得a²＜9，b²＜9，
原不等式得證．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查絕對值不等式的性質(zhì)以及不等式的證明，是一道中檔題．