Question

已知函數(shù)．
（1）若，求f（x）在[1，+∞）上的最小值
（2）若，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是否有零點(diǎn)，若有，求出零點(diǎn)，若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x），利用導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性可求f（x）的最小值；
（2）求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上最大值，由最大值符號可作出判斷．
解答：解：（1）當(dāng)時，，
f′（x）=-2+=≥0，
∴f（x）在[1，+∞）是增函數(shù)，
∴f（x）的最小值為f（1）=．
（2）∵（x＞0）．   
即 （x＞0）．  
∵，∵
∴當(dāng)時，＞2，由f′（x）＞0得0＜x＜2或x＞，由f′（x）＜0，得2＜x＜；
當(dāng)a＞時，，由f′（x）＞0得0＜x＜或x＞2，由f′（x）＜0，得＜x＜，2；
所以當(dāng)時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2]和，單調(diào)遞減區(qū)間是；
當(dāng)時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是和[2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是．
（3）先求f（x）在x∈[1，2]的最大值．由（2）可知，
當(dāng)時，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故．
由可知，，2lna＞-2，-2lna＜2，
所以-2-2lna＜0，則f（x）_max＜0，
故在區(qū)間[1，2]上f（x）＜0．恒成立，
故當(dāng)時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上沒有零點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，屬中檔題．