Question

過點（4，4）引圓（x-1）²+（y-3）²=4的切線，（1）求切線長；（2）求切線方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)PQ為圓M的切線，由切線性質得到MQ與PQ垂直，然后利用兩點間的距離公式求出|MP|，由圓M的方程找出圓心M的坐標和半徑r，在直角三角形MQP中，由勾股定理求出|PQ|的長，即為切線長；
（2）設出切線的方程為y-4=k（x-4），根據(jù)點到直線的距離公式，表示出圓心M到所設直線的距離d，因為直線與圓相切時圓心到直線的距離等于半徑，所以由d等于圓的半徑r列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，進而確定出切線方程．

解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

（1）連接MQ，由直線PQ為圓M的切線，得到MQ⊥PQ，即∠MQP=90°，
由圓的方程得到圓心M（1，3），半徑r=2，即|MQ|=2，
連接MP，由P（4，4），得到|MP|=

(4-1)2+(4-3)2

=

10

，
在直角三角形MQP中，根據(jù)勾股定理得：切線長|PQ|=

( 10 )2-22

=

6

；
（2）設切線的斜率為k，則切線方程為：y-4=k（x-4），即kx-y+4-4k=0，
圓心M到切線的距離d=

|1-3k|

1+k2

=r=2，即5k²-6k-3=0，
解得：k=

3+ 2 6

5

或k=

3- 2 6

5

，
則切線方程為：（3+2

6

）x-5y+8-8

6

=0或（3-2

6

）x-5y+8+8

6

=0．

點評：此題考查了切線的性質，勾股定理以及直線與圓切線時滿足的條件．（1）求切線長時，應連接圓心與切點，構造直角三角形；（2）直線與圓相切時，注意圓心到直線的距離等于圓的半徑這個條件的運用．