Question

12．已知圓O：x²+y²=4，直線l：mx-y+1=0與圓O交于點(diǎn)A，C，直線n：x+my-m=0與圓O交于點(diǎn)B，D，則四邊形ABCD面積的最大值是7．

Answer 1

分析 先確定直線m，n恒過(guò)定點(diǎn)M（0，1），圓心O（0，0），半徑R=2，AC²+BD²為定值，表示出面積，即可求四邊形ABCD的面積的最大值和最小值．

解答 解：由題意可得，直線m，n恒過(guò)定點(diǎn)M（0，1），圓心O（0，0），半徑R=2，
設(shè)弦AC，BD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則OE²+OF²=OM²=1，
∴AC²+BD²=4（8-OE²-OF²）=28，
∴S²≤$\frac{1}{4}$AC²•BD²=$\frac{1}{4}$AC²•（28-AC²）≤$\frac{1}{4}•（\frac{A{C}^{2}+28-A{C}^{2}}{2}）^{2}$=49，
∴S≤7，當(dāng)且僅當(dāng)AC²=28-AC²，即AC=$\sqrt{14}$時(shí)，取等號(hào)，
故四邊形ABCD面積S的最大值為7．
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線過(guò)定點(diǎn)，考查面積的計(jì)算，基本不等式的應(yīng)用，正確運(yùn)用代入法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．