Question

17．點(diǎn)P（x₀，y₀）是曲線y=3lnx+x+k（k∈R）圖象上一個(gè)定點(diǎn)，過點(diǎn)P的切線方程為4x-y-1=0，則實(shí)數(shù)k的值為2．

Answer 1

分析 求出曲線的導(dǎo)函數(shù)，把x=x₀代入即可得到切線的斜率，然后根據(jù)過點(diǎn)P₀的切線方程為4x-y-1=0得出切線的斜率從而求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，最后將切點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程即可求出實(shí)數(shù)k的值．

解答 解：由函數(shù)y=3lnx+x+k知y′=3×$\frac{1}{x}$+1=$\frac{3}{x}$+1，
把x=x₀代入y′得到切線的斜率k=$\frac{3}{{x}_{0}}$+1，
因切線方程為：4x-y-1=0，∴k=4，
∴$\frac{3}{{x}_{0}}$+1=4，得x₀=1，
把x₀=1代入切線方程得切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
再將切點(diǎn)坐標(biāo)（1，3）代入曲線y=3lnx+x+k，得3=3ln1+1+k，
∴k=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題主要考查學(xué)生根據(jù)曲線的導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，利用切點(diǎn)和斜率寫出切線的方程．屬于中檔題．