Question

設(shè)函數(shù)f（x）的解析式滿足f(x+1)=

x2+2x+a+1

x+1

 (a＞0)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當a=1時，試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明；
（3）當a=1時，記函數(shù)g(x)=

f(x)，x＞0 f(-x) ，x＜0

，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[-2，-

1

2

]上的值域．

Answer 1

（1）設(shè)x+1=t（t≠0），則x=t-1，
∴f(t)=

(t-1)2+2(t-1)+2a+1

t

=

t2+a

t

∴f(x)=

x2+a

x

（2）當a=1時，f(x)=

x2+1

x

=x+

1

x

f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
證明：設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則f(x1)-f(x2)=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=(x1-x2)+(

1

x1

-

1

x2

)=(x1-x2)+

x2-x1

x1x2

(x1-x2)(1-

1

x1x2

)=

(x1-x2)

x1x2

(x1x2-1)（8分）
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＜0，
∴

(x1-x2)

x1x2

(x1x2-1)＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0?f（x₁）＞f（x₂）
所以，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
同理可證得f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增
（3）∵g(-x)=

f(-x)，-x＞0 f(x)   ，-x＜0

=

f(-x)，x＜0 f(x)，x＞0

=g(x)，
∴g（x）為偶函數(shù)，
所以，∴y=g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，
又當a=1，x∈[

1

2

，2]時，由（2）知g(x)=x+

1

x

在[

1

2

，1]單調(diào)減，[1，2]單調(diào)增，
∴g(x)min=g(1)=2，g(x)max=g(

1

2

)=g(2)=

5

2

∴當a=1時，函數(shù)g（x）在區(qū)間[-2，-

1

2

]上的值域的為[2，

5

2

]