Question

13．已知函數(shù)f（x）的圖象在點（x₀，f（x₀））處的切線方程l：y=g（x），若函數(shù)f（x）滿足?x∈I（其中I為函數(shù)f（x）的定義域），當(dāng)x≠x₀時，[f（x）-g（x）]（x-x₀）＞0恒成立，則稱x₀為函數(shù)f（x）的“穿越點”．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{a}{2}$x²-$\frac{x}{2}$在（0，e]上存在一個“穿越點”，則a的取值范圍為（　�。�

• A． [$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）
• B． （-1，$\frac{1}{{e}^{2}}$]
• C． [-$\frac{1}{{e}^{2}}$，1）
• D． （-∞，-$\frac{1}{{e}^{2}}$]

Answer 1

分析 利用二階導(dǎo)函數(shù)為0，求解：f″（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-a=0，顯然只有當(dāng)a＜0時有解，其解就為“穿越點”橫坐標，即可得出結(jié)論．

解答 解：根據(jù)若函數(shù)f（x）滿足?x∈I（其中I為函數(shù)f（x）的定義域），當(dāng)x≠x₀時，[f（x）-g（x）]（x-x₀）＞0恒成立，
利用二階導(dǎo)函數(shù)為0，求解：f″（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-a=0，顯然只有當(dāng)a＜0時有解，其解就為“穿越點”橫坐標，
故x=$\sqrt{\frac{1}{-a}}$，由題意x=$\sqrt{\frac{1}{-a}}$∈（0，e]，故a≤-$\frac{1}{{e}^{2}}$．
故選：D

點評 本題主要考查新定義，判斷函數(shù)的穿越點，屬于中檔題．