Question

在△ABC中，已知C=60°，

sinA+sinB+sinC

sinA+sinC

+

sinA+sinB+sinC

sinB+sinC

=

3

．

Answer 1

分析：由余弦定理可得cosC=

1

2

=

a2+b2-c2

2ab

，即 a²+b²=c²+ab．利用正弦定理化簡要求的式子為

a+b+c

a+c

+

a+b+c

b+c

，即2+

a2+b2+ac+bc

(a+c)(b+c)

．再把 a²+b²
=c²+ab 代入化簡求得結果．

解答：解：由余弦定理可得 cosC=

1

2

=

a2+b2-c2

2ab

，a²+b²=c²+ab．
再由正弦定理可得

sinA+sinB+sinC

sinA+sinC

+

sinA+sinB+sinC

sinB+sinC

=

a+b+c

a+c

+

a+b+c

b+c

=2+

b

a+c

+

a

b+c

=2+

b(b+c)+a(a+c)

(a+c)(b+c)

=2+

a2+b2+ac+bc

(a+c)(b+c)

=2+

c2+ab +ac+bc

(a+c)(b+c)

=2+

(c +a)( c+b)

(a+c)(b+c)

=3，
故答案為 3．

點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用，式子的恒等變形，是解題的難點和關鍵，屬于中檔題．