Question

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合：“①方程f（x）-x=0有實(shí)數(shù)根； ②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）滿足0＜f'（x）＜1．”
（I）判斷函數(shù)是否是集合M中的元素，并說(shuō)明理由；
（II）集合M中的元素f（x）具有下面的性質(zhì)：若f（x）的定義域?yàn)镈，則對(duì)于
任意[m，n]D，都存在x₀∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x₀）成立”，試用這一性質(zhì)證明：方程f（x）-x=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．

Answer 1

解：（I）因?yàn)?IMG style="WIDTH: 134px; HEIGHT: 34px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120818/201208181430199432524.png">，
所以滿足條件0＜f'（x）＜1，
又因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，
所以方程f（x）﹣x=0有實(shí)數(shù)根0．
所以函數(shù)是集合M中的元素．
（II）證明：假設(shè)方程f（x）﹣x=0存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根α，β（α≠β），
則f（α）﹣α=0，f（β）﹣β=0不妨設(shè)α＜β，
根據(jù)題意存在數(shù)c∈（α，β），使得等式f（β）﹣f（α）=（β﹣α）f'（c）成立
因?yàn)閒（α）=α，f（β）=β，且α≠β，
所以f'（c）=1與已知0＜f'（x）＜1矛盾，
所以方程f（x）﹣x=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．