Question

已知點(diǎn)G是△ABC的重心,A(0,-1),B(0,1).在x軸上有一點(diǎn)M,滿足||=||,GM=λ(λ∈R)(若△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃),則該三角形的重心坐標(biāo)為G(,).

(1)求點(diǎn)C的軌跡E的方程;

(2)若斜率為k的直線l與(1)中的曲線E交于不同的兩點(diǎn)P、Q,且||=||,試求斜率k的取值范圍.

Answer 1

解:(1)設(shè)C(x,y),則G(,).

∵=λ(λ∈R),∴GM∥AB.又M是x軸上一點(diǎn),則M(,0).又∵||=||,

∴(=.

整理,得+y²=1(x≠0).

(2)①當(dāng)k=0時,l與橢圓C有兩個不同的交點(diǎn)P、Q,

根據(jù)橢圓的對稱性,有|AP|=|AQ|,符合題意.

②當(dāng)k≠0時,可設(shè)l的方程為y=kx+m,聯(lián)立方程組消去y整理,得

(1+3k²)x²+6kmx+3(m²-1)=0.(*)

∵直線l和橢圓交于不同的兩點(diǎn),

∴Δ=(6km)²-4(1+3k²)×3(m²-1)＞0,

即1+3k²-m²＞0.(**)   

設(shè)P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),則x₁、x₂是方程(*)的兩相異實根.

∴x₁+x₂=,x₁·x₂=.

則PQ的中點(diǎn)N(x₀,y₀)的坐標(biāo)是x₀=,y₀=,

即N(,).又||=||,

∴AN⊥PQ.∴m=.將m=代入(**)式,得k²＜1.∴k∈(-1,0)∪(0,1).

綜上①②,得k的取值范圍是(-1,1).