Question

己知函數(shù)f(x)=

x2

1+x2

，那么f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）+f(

1

2

)+f(

1

3

)+…+f(

1

2009

)=（　�。�

• A．2005

  1

  2

• B．2006

  1

  2

• C．2007

  1

  2

• D．2008

  1

  2

Answer 1

分析：題目中給出了函數(shù)解析式，當(dāng)然可以逐項求解，再相加．審題后，應(yīng)當(dāng)注意到所給的自變量的取值有特點：倒數(shù)關(guān)系，由此應(yīng)先考慮f（x）+f（

1

x

）的結(jié)果的特殊性，以期減少重復(fù)的運算．

解答：解：∵f(x)=

x2

1+x2

，∴f（x）+f（

1

x

）=

x2

1+x2

+

( 1 x )2

1+( 1 x )2

=

x2

1+x2

+

1

x2+1

=1
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）+f(

1

2

)+f(

1

3

)+…+f(

1

2009

)
=f（1）+[f（2）+f（

1

2

）]+f（3）+f（

1

3

）]+…+[f（2009）+f（

1

2009

）]
=

1

2

+1+1+…+1
=2008

1

2

故選：D．

點評：本題考查函數(shù)值求解，函數(shù)性質(zhì)．意識到先考慮f（x）+f（

1

x

）的結(jié)果的特殊性，是本題的關(guān)鍵，精彩之處．也是良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn)．