Question

已知整數(shù)列{a_n}滿足a₃=-1，a₇=4，前6項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第5項(xiàng)起依次成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出所有的正整數(shù)m，使得a_m+a_m+1+a_m+2=a_ma_m+1a_m+2．

Answer 1

解（1）設(shè)數(shù)列前6項(xiàng)的公差為d，d為整數(shù)，則a₅=-1+2d，a₆=-1+3d，d為整數(shù)，
又a₅，a₆，a₇成等比數(shù)列，
所以（3d-1）³=4（2d-1），解得d=1，-------4分
當(dāng)n≤4時(shí)，a_n=n-4，
由此a₅=1，a₆=2，數(shù)列第5項(xiàng)起構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列．
當(dāng)n≥5時(shí)，a_n=2^n-5，
故通項(xiàng)公式為，-------------------------------------8分
（2）由（1）知數(shù)列{a_n}為：-3，-2，-1，0，1，2，4，8，16，…
當(dāng)m=1時(shí)等式成立，即-3-2-1=-6=（-3）（-2）（-1）；等式成立．
當(dāng)m=3時(shí)等式成立，即-1+0+1=0；等式成立．
當(dāng)m=2、4時(shí)等式不成立；--------------------------------------------------12分
當(dāng)m≥5時(shí)，即a_m+a_m+1+a_m+2=2^m-5（2³-1），a_ma_m+1a_m+2=2^3m-12．
所以a_m+a_m+1+a_m+2≠a_ma_m+1a_m+2．；
故所求的m=1，或m=3------------------------------------------------------15分
分析：（1）由題意設(shè)數(shù)列前6項(xiàng)的公差為d，d為整數(shù)，表示出a₅，a₆，利用a₅，a₆，a₇成等比數(shù)列，求出d，推出n≤6時(shí)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，n≥5數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）驗(yàn)證正整數(shù)m=1，2，3，4，時(shí)，等式a_m+a_m+1+a_m+2=a_ma_m+1a_m+2是否成立，m≥5時(shí)，驗(yàn)證等式的左邊的值與右側(cè)的值是否相同即可，得到結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的判斷，通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的函數(shù)的特征，注意數(shù)列的前提條件的應(yīng)用，注意驗(yàn)證法在解題中的應(yīng)用，注意分類討論的思想．