Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

7

3

，a_n+1=3a_n-4n+2（n∈N^*）
（1）求a₂•a₃的值；
（2）證明數(shù)列{a_n-2n}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）若數(shù)列{b_n}滿足

1+2bn

bn

=

an

n

（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）n=1，2分別代入遞推式即可；
（2）由已知a_n+1=3a_n-4n+2（n∈N^*），變形為a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），即可證明；
（3）利用“錯位相減法”即可得出．

解答：解：（1）∵a₂=3a₁-4+2=3×

7

3

-2=5，a₃=3a₂-4×2+2=3×5-6=9．
∴a₂a₃=5×9=45．
（2）∵a_n+1=3a_n-4n+2（n∈N^*），∴a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），
又a1-2=

1

3

，∴數(shù)列{a_n-2n}是首項為

1

3

，且公比為3的等比數(shù)列．
∴an-2n=

1

3

×3n-1，于是數(shù)列{a_n}的通項公式為an=2n+3n-2(n∈N*)．
（3）由

1+2bn

bn

=

an

n

，∴

1

bn

+2=2+

3n-2

n

，得bn=

n

3n-2

．
∴Sn=3+

2

1

+

3

3

+

4

32

+…+

n

3n-2

  ①
于是

1

3

Sn=1+

2

3

+

3

32

+…+

n-1

3n-2

+

n

3n-1

  ②
由①-②得

2

3

Sn=3+1+

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-2

-

n

3n-1

=

3[1-( 1 3 )n]

1- 1 3

-

n

3n-1

=

9

2

[1-(

1

3

)n]-

n

3n-1

，
∴Sn=

27

4

[1-(

1

3

)n]-

n

2×3n-2

．

點評：正確理解遞推式、變形證明等比數(shù)列、“錯位相減法”等是解題的關(guān)鍵．