Question

已知△AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1，0），B為橢圓

x2

4

+y²=1上的動點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足

OM

=

2

3

OA

+

1

3

OB

求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），因為點(diǎn)M隨著點(diǎn)B在動，故設(shè)動點(diǎn)B（m，n），則動點(diǎn)B的軌跡為已知，由

OM

=

2

3

OA

+

1

3

OB

找到點(diǎn)M與點(diǎn)B間的坐標(biāo)關(guān)系，代入橢圓方程即可得點(diǎn)M的軌跡方程

解答：解：設(shè)M（x，y），B（m，n）
∴

OM

=（x，y），

OA

=（1，0），

OB

=（m，n）
∵

OM

=

2

3

OA

+

1

3

OB

∴（x，y）=

2

3

（1，0）+

1

3

（m，n）
∴

x= 1 3 m+ 2 3 y= 1 3 n

即

m=3x-2 n=3y

∵B為橢圓

x2

4

+y²=1上的動點(diǎn)，
∴

m2

4

+n2=1
∴

(3x-2)2

4

+(3y)2=1
化簡得（3x-2）²+36y²=4
∴點(diǎn)M的軌跡方程為（3x-2）²+36y²=4

點(diǎn)評：本題考查了解析幾何的基本思想，坐標(biāo)法求動點(diǎn)的軌跡方程，向量與解析幾何的綜合