設L為曲線C：y＝在點(1,0)處的切線．

(1)求L的方程；

(2)證明：除切點(1,0)之外，曲線C在直線L的下方．

 

（1）y＝x－1

（2）見解析

【解析】(1)設f(x)＝，則f′(x)＝

所以f′(1)＝1，所以L的方程為y＝x－1.

(2)證明：令g(x)＝x－1－f(x)，則除切點之外，曲線C在直線L的下方等價于g(x)>0(?x>0，x≠1)．

g(x)滿足g(1)＝0，且

g′(x)＝1－f′(x)＝.

當0＜x＜1時，x2－1＜0，ln x＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)單調(diào)遞減；

當x>1時，x2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)單調(diào)遞增．

所以，g(x)>g(1)＝0(?x>0，x≠1)．

所以除切點之外，曲線C在直線L的下方．

 

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A． B． C． D．

 

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