Question

【題目】已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）= ，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）求證：在（Ⅰ）的條件下，f（x）＞g（x）+ ；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣ = ， 所以當0＜x＜1時，f'（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當1＜x≤e時，f'（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）的極小值為f（1）=1．
（Ⅱ）證明：因為函數(shù)f（x）的極小值為1，即函數(shù)f（x）在（0，e]上的最小值為1．
又g′（x）= ，所以當0＜x＜e時，g'（x）＞0，此時g（x）單調(diào)遞增．
所以g（x）的最大值為g（e）= ＜ ，所以f（x）min﹣g（x）max＞ ，
所以在（Ⅰ）的條件下，f（x）＞g（x）+ ．
（Ⅲ）假設(shè)存在實數(shù)a，使f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，有最小值3，
則f′（x）=a﹣ = ，
①當a≤0時，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，
f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，a= ，（舍去），此時函數(shù)f（x）的最小值不是3．
②當0＜ ＜e時，f（x）在（0， ]上單調(diào)遞減，f（x）在（ ，e]上單調(diào)遞增．
所以f（x）min=f（ ）=1+lna=3，a=e2 ， 滿足條件．
③當 ≥e時，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，
f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，a= ，（舍去），
此時函數(shù)f（x）的最小值是不是3，
綜上可知存在實數(shù)a=e2 ， 使f（x）的最小值是3
【解析】（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和單調(diào)性．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，求函數(shù)f（x）的最小值以及g（x）的最大值，利用它們之間的關(guān)系證明不等式．（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，讓最小值等于3，解參數(shù)a．
【考點精析】通過靈活運用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題．