Question

巳知數列{a_n}的前n項和S_n，滿足：S₂=3，2S_n=n+na_n，n∈N^*，數列{b_n}是遞增的等比數列，且b₁+b₄=9，b₂•b₃=8，
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）求和T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n．

Answer 1

解：（1）當n=1時，2a₁=1+a₁解得a₁=1
當n≥2時，2S_n=n+na_n ①
2S_n-1=n-1+（n-1）a_n-1 ②
①-②得2a_n=1+na_n-（n-1）a_n-1 ③
∴2a_n+1=1+（n+1）a_n+1-na_n ④
④-③得a_n+1+a_n-1=2a_n
又S₃=3，a₁=1
∴a₂=2
∴數列{a_n}是以1為首項，公差為1的等差數列
∴a_n=n
設數列{b_n}的公比為q，則
解得b₁=1，q=2
∴b_n=2^n-1
（2）由（1）得T_n=1+2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1
2T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
∴-T_n=1+2+2²+2³+…+n•2ⁿ=
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1
分析：（1）令n=1先求出首項，當n≥2時，仿寫一個新的等式，兩個式子相減得到關于項之間的遞推關系，再仿寫一個新等式，兩個式子相減得到等差中項，判斷出數列{a_n}為等差數列，利用等差數列的通項公式求出通項；設出數列{b_n}的公比，利用等比數列的通項公式將已知等式用首項及公比不是，解方程組求出首項與公比，利用等比數列的通項公式求出通項．
（2）根據數列通項的特點，利用錯位相減的方法求出數列的前n項和．
點評：通過數列的項與和之間的遞推關系求數列的通項，一般采用仿寫作差的方法將項與和的關系轉化為項的遞推關系再求通項；求數列的前n項和，一般采用根據數列的通項的形式，選擇合適的求和方法．