已知x>0,函數(shù)f(x)=lnx-
ax
x+1

(1)當(dāng)a≥0時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)f(x)有兩個極值點(diǎn)(設(shè)為x1和x2)時,求證:f(x1)+f(x2)≥
x+1
x
•[f(x)-x+1]
分析:(1)先求出函數(shù)的定義域,然后求出導(dǎo)函數(shù),設(shè)g(x)=x2-(a-2)x+1,二次方程g(x)=0的判別式△=a2-4a,然后討論△的正負(fù),再進(jìn)一步考慮導(dǎo)函數(shù)的符號,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)對f(x)求導(dǎo)數(shù),由f′(x)=0有兩個不同的根x1,x2,利用判別式和根與系數(shù)的關(guān)系得到x1x2=1,由x1、x2的關(guān)系,則f(x1)+f(x2)=-a,又由-a=
x+1
x
•[f(x)-lnx]
,將問題轉(zhuǎn)化為lnx≤x-1即可,令g(x)=lnx-x+1,利用導(dǎo)數(shù)求出g(x)的最大值即得證.
解答:解:(1)∵f′(x)=
1
x
-
a
(x+1)2
=
x2-(a-2)x+1
x(x+1)2
,
x>0,設(shè)g(x)=x2-(a-2)x+1
當(dāng)△=a2-4a≤0,即0≤a≤4時,在(0,+∞)上,f′(x)≥0恒成立,
此時f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)△=a2-4a>0,即a>4時,方程x2-(a-2)x+1=0有兩個解不相等的實(shí)數(shù)根:
x1=
(a-2)-
(a-2)2-4
2
,x2=
(a-2)+
(a-2)2-4
2
,顯然0<x1<x2,
∵當(dāng)x∈(0,x1)或x∈(x2,+∞)時,f′(x)>0;
當(dāng)x∈(x1,x2)時,f′(x)<0;
∴函數(shù)f(x)在(
a-2-
a2-4a
2
,
a-2+
a2-4a
2
)
上單調(diào)遞減,
(0,
a-2-
a2-4a
2
)
(
a-2+
a2-4a
2
,+∞)
上單調(diào)遞增.
(2)∵x1,x2是f(x)的兩個極值點(diǎn),
故滿足方程f′(x)=0,
即x1,x2是x2-(a-2)x+1=0的兩個解,
∴x1x2=1,
f(x1)+f(x2)=lnx1-
ax1
x1+1
+lnx2-
ax2
x2+1

=ln(x1x2)-
a(2x1x2+x1+x2)
x1x2+x1+x2+1
=-a

而在f(x)=lnx-
ax
x+1
中,-a=
x+1
x
•[f(x)-lnx]

因此,要證明f(x1)+f(x2)≥
x+1
x
•[f(x)-x+1]
,
等價于證明
x+1
x
•[f(x)-lnx]≥
x+1
x
•[f(x)-x+1]

注意到x>0,只需證明f(x)-lnx≥f(x)-x+1
即證lnx≤x-1
令g(x)=lnx-x+1,則g′(x)=
1
x
-1=
1-x
x
,
當(dāng)x∈(0,1)時,g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(1,+∞)時,g'(x)<0,函數(shù)g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減;
因此g(x)max=g(1)=ln1-x+1=0,從而g(x)≤0,即lnx≤x-1,原不等式得證.
點(diǎn)評:本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,同時考查了轉(zhuǎn)化的能力和分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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