已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c且f（-1）=0，f（1）=1．是否存在常數(shù)a，b，c使得不等式x≤f(x)≤
1
2
(x2+1)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立？若存在，求出實(shí)數(shù)a，b，c的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
∵f（-1）=0且f（1）=1
∴a-b+c=0且a+b+c=1．聯(lián)解可得b=
1
2
，c=
1
2
-a．
函數(shù)表達(dá)式化簡(jiǎn)為：f（x）=ax2+
1
2
x+
1
2
-a．
設(shè)存在常數(shù)a，b，c使得不等式x≤f(x)≤
1
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(x2+1)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立
可得x≤ax2+
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2
x+
1
2
-a≤
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2
(x2+1)對(duì)一切x∈R成立，
化簡(jiǎn)得
ax2-
1
2
x+
1
2
-a≥0
(1-2a)x2-x+2a≥0
恒成立，即
1
4
-4a(
1
2
-a)≤0
1-8a(1-2a)≤0
a＞0且1-2a＞0

解之得a=
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4
，可得c=
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-a=
1
4
．

∴存在常數(shù)a=
1
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，b=
1
2
，c=
1
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，使得不等式x≤f(x)≤
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(x2+1)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且滿足f（2）=0，求實(shí)數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），且與x軸有唯一的交點(diǎn)（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長(zhǎng)度為b-a．問(wèn)：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長(zhǎng)度為12-t？請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時(shí)，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點(diǎn)是（-1，2），且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求f（x）的解析式．

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