Question

（2012•安徽模擬）設(shè)a∈{1，2，3，4}，b∈{2，4，8，12}，則函數(shù)f（x）=x³+ax-b在區(qū)間（1，2）有零點(diǎn)的概率是（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  5

  8

• C．

  11

  16

• D．

  3

  4

Answer 1

分析：由f（x）在實(shí)數(shù)集上單調(diào)遞增可知，要使函數(shù)f（x）=x³+ax-b在區(qū)間[1，2]上有零點(diǎn)，只需滿足條件

f(1)≤0 f(2)≥0

，從而解得b-a≥1且b-2a≤8，后驗(yàn)證a，b即可獲解．

解答：解：由f（x）在實(shí)數(shù)集上單調(diào)遞增可知，要使函數(shù)f（x）=x³+ax-b在區(qū)間[1，2]上有零點(diǎn)，
只需滿足條件

f(1)≤0 f(2)≥0

，從而解得b-a≥1且b-2a≤8，∴a+1≤b≤2a+8．
∴當(dāng)a=1時(shí)，b取2，4，8；   a=2時(shí)b取4，8，12；
a=3時(shí)，b取4，8，12；   a=4時(shí)b取8，12；   共11種取法．
又∵a，b的總共取法有16種，故在區(qū)間（1，2）有零點(diǎn)的概率為

11

16

，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)零點(diǎn)的定義以及函數(shù)零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用，函數(shù)和概率的小綜合題，其中關(guān)鍵有五點(diǎn)：
（1）熟悉y=x³及其系列函數(shù)的基本性質(zhì)； （2）對(duì)函數(shù)零點(diǎn)概念理解，即圖象與x軸恒有交點(diǎn)；
（3）能正確的轉(zhuǎn)化為條件組，（4）能正確的對(duì)a，b取值進(jìn)行取舍；（5）熟悉等可能性事件概率計(jì)算．