已知橢圓的方程為=1(a>b>0),過其左焦點F(-1,0)、斜率為1的直線交橢圓于P、Q兩點.

(1)若與a=(-3,1)共線,求橢圓的方程;

(2)若在左準線上存在點R,使△PQR為正三角形,求橢圓的離心率e.

(文)已知函數(shù)f(x)=2x(x>0),g(x)=.

(1)求F(x)=2f(x)+[g(x)]2的最小值;

(2)在x軸正半軸上有一動點C(x,0),過C作x軸的垂線分別與f(x)、g(x)的圖象交于點A、B,試將△AOC與△BOC的面積的平方差表示為x的函數(shù)h(x),并判斷h(x)是否存在極值,若存在,求出極值;若不存在,請說明理由.

答案:解:(1)將直線PQ的方程y=x+1,代入+=1并化簡,得(a2+b2)x2+2a2x+a2-a2b2=0.

令P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=.

=(x1+x2,y1+y2),與a=(-3,1)共線,得3(y1+y2)+(x1+x2)=0.

∴3(x1+x2+2)+(x1+x2)=0.∴x1+x2=-,即=-.∴a2=3b2.

又a2=b2+1,∴a2=,b2=.∴橢圓的方程為+2y2=1.

(2)如圖,設線段PQ的中點為M.

過點P、M、Q分別作準線的垂線,垂足分別為P′、M′、Q′,則|MM′|=(|PP′|+|QQ′|)

=.∵∠QFX=,∴∠FMM′=.∴∠M′MR=.∴|RM|=|MM′|.又|RM|=|PQ|,∴|PQ|.∴e=.

(文)解:(1)F(x)=2x+≥2,當且僅當2x=,即x=時取等號.

(2)△AOC與△BOC的面積分別為x2、,所以h(x)=(2x4-x),h′(x)=(8x3-1).

當0<x<時,h′(x)<0,h(x)在(0,)上單調(diào)遞減;當x>時,h′(x)>0,h(x)在(,+∞)上單調(diào)遞增,且h(x)在(0,+∞)上連續(xù),所以h(x)在x=處有極小值h()=.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓的方程為=1,焦點在x軸上,則m的范圍是(  )

A.-4≤m≤4且m≠0

B.-4<m<4且m≠0

C.m>4或m<-4

D.0<m<4

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A.-4≤m≤4且m≠0                            B.-4<m<4且m≠0

C.m>4或m<-4                                 D.0<m<4

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