Question

3．如圖所示，拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，過點F且斜率存在的直線l交拋物線C于A，B兩點，已知當(dāng)直線l的斜率為1時，|AB|=8．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過點A作拋物線C的切線交直線x=$\frac{p}{2}$于點D，試問：是否存在定點M在以AD為直徑的圓上？若存在，求點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意設(shè)出直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，再由拋物線的焦點弦長公式列式求得p，則拋物線方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出A的坐標(biāo)，得到過A點的切線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式等于0把切線的斜率用A的縱坐標(biāo)表示，進(jìn)一步求得D點坐標(biāo)，得到以AD為直徑的圓的方程，從而得到存在定點M（1，0）在以AD為直徑的圓上．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得，直線l的方程為y=x-$\frac{p}{2}$，
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，消去y整理得${x}^{2}-3px+\frac{{p}^{2}}{4}=0$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=3p，
故|AB|=x₁+x₂+p=4p=8，∴p=2，
∴拋物線C方程為y²=4x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線x=-$\frac{p}{2}$即x=-1，A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}，{y}_{1}$）（y₁≠0），
設(shè)切線方程為$y-{y}_{1}=k（x-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}）$，
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y-{y}_{1}=k（x-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x得：$\frac{k}{4}{y}^{2}-y+{y}_{1}-\frac{k{{y}_{1}}^{2}}{4}=0$，
∵△=$1-k（{y}_{1}-\frac{k{{y}_{1}}^{2}}{4}）=0$，∴$\frac{{k}^{2}{{y}_{1}}^{2}}{4}-k{y}_{1}+1=0$，即k=$\frac{2}{{y}_{1}}$，
∴切線方程為$y-{y}_{1}=\frac{2}{{y}_{1}}（x-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}）$，則4x-$2{y}_{1}y+{{y}_{1}}^{2}=0$，
令x=-1，得$y=\frac{{y}_{1}}{2}-\frac{2}{{y}_{1}}$，即D（-1，$\frac{{y}_{1}}{2}-\frac{2}{{y}_{1}}$），
∴以AD為直徑的圓為$（x+1）（x-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}）+（y-{y}_{1}）（y-\frac{{y}_{1}}{2}+\frac{2}{{y}_{1}}）=0$，
由拋物線的對稱性，若以AD為直徑的圓經(jīng)過定點，則此定點一定在x軸上，
∴令y=0，得$（x-1）（x+2-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}）=0$，得x=1，
故存在定點M（1，0）在以AD為直徑的圓上．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查直線與圓、直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力，屬中檔題．