Question

8．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=4．
（1）M為曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|•|OP|=16，求點(diǎn)P的軌跡C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2，$\frac{π}{3}$），點(diǎn)B在曲線C₂上，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），利用相似得出M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)|OM|•|OP|=16列方程化簡(jiǎn)即可；
（2）求出曲線C₂的圓心和半徑，得出B到OA的最大距離，即可得出最大面積．

解答 解：（1）曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為：x=4，
設(shè)P（x，y），M（4，y₀），則$\frac{x}{4}=\frac{y}{{y}_{0}}$，∴y₀=$\frac{4y}{x}$，
∵|OM||OP|=16，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$$\sqrt{16+{{y}_{0}}^{2}}$=16，
即（x²+y²）（1+$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$）=16，
∴x⁴+2x²y²+y⁴=16x²，即（x²+y²）²=16x²，
兩邊開(kāi)方得：x²+y²=4x，
整理得：（x-2）²+y²=4（x≠0），
∴點(diǎn)P的軌跡C₂的直角坐標(biāo)方程：（x-2）²+y²=4（x≠0）．
（2）點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為A（1，$\sqrt{3}$），顯然點(diǎn)A在曲線C₂上，|OA|=2，
∴曲線C₂的圓心（2，0）到弦OA的距離d=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∴△AOB的最大面積S=$\frac{1}{2}$|OA|•（2+$\sqrt{3}$）=2+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，軌跡方程的求解，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．