Question

已知函數(shù)f（x），對任意的x∈R，滿足f（-x）+f（x）=0，f（2-x）=f（x），且當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=ax，若方程f（x）-lgx=0恰有五個實根，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、（-lg11，-lg7）∪（2lg3，lg13）
• B、（-2lg3，-lg7）∪（lg11，lg13）
• C、（-lg13，-lg11）∪（lg7，2lg3）
• D、（-lg13，-2lg3）∪（lg7，lg11）

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件得到函數(shù)f（x）的奇偶數(shù)，對稱性和周期性，作出函數(shù)f（x）和y=lgx的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：由f（-x）+f（x）=0得f（-x）=-f（x）則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
由f（2-x）=f（x），則函數(shù)關(guān)于x=1對稱，且f（2-x）=f（x）=-f（x-2），
則f（x+2）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
則函數(shù)f（x）的周期是4．
若方程f（x）-lgx=0恰有五個實根，
則等價為若方程f（x）=lgx恰有五個實根，即函數(shù)f（x）和y=lgx有5個交點，
∵當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=ax
∴當(dāng)x∈[-1，0]時，f（x）=-f（-x）=ax，即當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）=ax，
作出函數(shù)f（x）和y=g（x）=lgx的圖象如圖：
若函數(shù)f（x）和y=lgx有5個交點，
則當(dāng)a＞0時，則滿足

f(9)＞g(9) f(13)＜g(13)

，即

f(9)=f(1)=a＞lg9 f(13)=f(1)=a＜lg13

，
解得lg9＜a＜lg13，即2lg3＜a＜lg13，
若a＜0，則滿足

f(11)＜g(11) f(7)＞g(7)

，即

f(11)=f(-1)=-a＜lg11 f(7)=f(-1)=-a＞lg7

，解得

a＞-lg11 a＜-lg7

，即-lg11＜a＜-lg7，
綜上實數(shù)a的取值范圍是（-lg11，-lg7）∪（2lg3，lg13），
故選：A

點評：本題主要考查方程根的個數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性和對稱性以及周期性的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．