Question

16．在極坐標系中，曲線C：ρ=2cosθ，l：ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$．
（1）求曲線C和直線l的直角坐標方程；
（2）O為極點，A，B為曲線C上的兩點，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，求|OA|+|OB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標方程與直角坐標方程的轉化方法，即可把圓與直線的極坐標方程分別化為直角坐標方程；
（2）不妨設A的極角為θ，B的極角為θ+$\frac{π}{3}$，則|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+$\frac{π}{3}$）=3cosθ-$\frac{π}{3}$sinθ=2$\frac{π}{3}$cos（θ+$\frac{π}{6}$），利用三角函數(shù)的單調性即可得出．

解答 解：（1）曲線C：ρ=2cosθ，即ρ²=2cρosθ，直角坐標方程為：x²+y²=2x，即（x-1）²+y²=1．
l：ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$，l的直角坐標方程為x+$\sqrt{3}$y-3=0．
（2）不妨設A的極角為θ，B的極角為θ+$\frac{π}{3}$，
則|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+$\frac{π}{3}$）
=3cosθ-$\sqrt{3}$sinθ=2$\sqrt{3}$cos（θ+$\frac{π}{6}$），
當θ=-$\frac{π}{6}$時，|OA|+|OB|取得最大值2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了把圓與直線的極坐標方程分別化為直角坐標方程、極坐標方程的應用、三角函數(shù)的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．