Question

已知某種植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都為

1

3

，某植物研究所進(jìn)行該種子的發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)種一料種子，每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立．假定某次實(shí)驗(yàn)種子發(fā)芽則稱該次實(shí)驗(yàn)是成功的，如果種子沒有發(fā)芽，則稱該次實(shí)驗(yàn)是失敗的．若該研究所共進(jìn)行四次實(shí)驗(yàn)，設(shè)ξ表示四次實(shí)驗(yàn)結(jié)束時(shí)實(shí)驗(yàn)成功的次數(shù)與失敗的次數(shù)之差的絕對(duì)值；
（1）求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望
（2）記“關(guān)于x的不等式 ξx²-ξx+1＞0的解集是實(shí)數(shù)集R”為事件A，求事件A發(fā)生的概率P（A）．

Answer 1

分析：（1）由題意知ξ的可能取值為0，2，4，p（ξ=0）=

C

2 4

(

1

3

)3(1-

1

3

)2 =

24

81

．P（ξ=2）=

c

3 4

(

1

3

)3(1-

1

3

)+

c

1 4

(

1

3

) (1-

1

3

)3=

40

81

．p（ξ=4）=

C

4 4

(

1

3

)  4+

C

0 4

(1-

1

3

)4=

17

81

，由此能求出隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望．
（2）由題意知：“不等式ξx²-ξx+1＞0的解集是實(shí)數(shù)R”為事件A．當(dāng)ξ=0時(shí)，不等式化為1＞0，其解集是R，說明事件A發(fā)生；當(dāng)ξ=2時(shí)，不等式化為2x²-2x+1＞0，△=-4＜0，所以解集是R，說明事件A發(fā)生；當(dāng)ξ=4時(shí)，不等式化為4x²-4x+1＞0，其解集{x|x≠

1

2

}，說明事件A不發(fā)生．由此能求出事件A發(fā)生的概率P（A）．

解答：解：（1）由題意知ξ的可能取值為0，2，4，（2分）
∵“ξ=0”指的是實(shí)驗(yàn)成功2次，失敗2次．（2分）
∴p（ξ=0）=

C

2 4

(

1

3

)3(1-

1

3

)2 =

24

81

．
“ξ=2”指的是實(shí)驗(yàn)成功3次，失敗1次或?qū)嶒?yàn)成功1次，失敗3次．
∴P（ξ=2）=

c

3 4

(

1

3

)3(1-

1

3

)+

c

1 4

(

1

3

) (1-

1

3

)3=

40

81

．
“ξ=4”指的是實(shí)驗(yàn)成功4次，失敗0次或?qū)嶒?yàn)成功0次，失敗4次．
∴p（ξ=4）=

C

4 4

(

1

3

)  4+

C

0 4

(1-

1

3

)4=

17

81

，（6分）
∴Eξ=0×

24

81

+2×

40

81

+4×

17

81

=

148

81

．
故隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望為

148

81

．（7分）
（2）由題意知：“不等式ξx²-ξx+1＞0的解集是實(shí)數(shù)R”為事件A．
當(dāng)ξ=0時(shí)，不等式化為1＞0，其解集是R，說明事件A發(fā)生；
當(dāng)ξ=2時(shí)，不等式化為2x²-2x+1＞0，
∵△=-4＜0，所以解集是R，說明事件A發(fā)生；
當(dāng)ξ=4時(shí)，不等式化為4x²-4x+1＞0，其解集{x|x≠

1

2

}，
說明事件A不發(fā)生．（10分）
∴p（A）=p（ξ=0）+p（ξ=2）=

24

81

+

40

81

=

64

81

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，考查學(xué)生探究研究問題的能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．