Question

某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)：服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間近似滿足如圖所示的曲線．
（1）寫出第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（t）；
（2）據(jù)進(jìn)一步測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于1微克時(shí)，治療有效．服藥后多少小時(shí)開始有治療效果？治療效果能持續(xù)多少小時(shí)？（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：lg2=0.301）

Answer 1

解：（1）由題意，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，函數(shù)圖象是一個(gè)線段，
由于過原點(diǎn)與點(diǎn)（1，4），故其解析式為y=4t，0≤t≤1；
當(dāng)t≥1時(shí)，函數(shù)的解析式為y=a（0.8）^t，
此時(shí)M（1，4）在曲線上，將此點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得4=0.8a，解得a=5
故第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（t）=；
（2）由題意，令f（t）≥1，
即4t≥1，解得t≥0.25，
5（0.8）^t≥1，解得t≤log_0.80.2==≈7.2
7.2-0.25=6.95
∴服藥后0.25小時(shí)開始生效，治療效果能夠持續(xù)約7小時(shí)．
分析：（1）由函數(shù)圖象我們不難得到這是一個(gè)分段函數(shù)，第一段是正比例函數(shù)的一段，第二段是指數(shù)型函數(shù)的一段，由于兩段函數(shù)均過M（1，4），故我們可將M點(diǎn)代入函數(shù)的解析式，求出參數(shù)值后，即可得到函數(shù)的解析式．
（2）由（1）的結(jié)論我們將函數(shù)值1代入函數(shù)解析式，構(gòu)造不等式，可以求出每毫升血液中含藥量不少于1微克時(shí)的起始時(shí)刻和結(jié)束時(shí)刻，他們之間的差值即為服藥一次治療疾病有效的時(shí)間．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及分段函數(shù)求解析式和指數(shù)不等式的求解，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．