Question

已知向量，，x∈R，設函數
（Ⅰ）求函數f（x）的最大值及相應的自變量x的取值集合；
（II）當且時，求的值

Answer 1

（Ⅰ）∵，，
∴=（sinx，cosx+sinx）•（2cosx，cosx-sinx）=2sinxcosx+cos²x-sin²x（1分）
=sin2x+cos2x（3分）
=（4分）
∴函數f（x）取得最大值為．（5分）
相應的自變量x的取值集合為{x|（k∈Z）}（7分）
（II）由得，即
因為，所以，從而（9分）
于是==
=（14分）
分析：（Ⅰ）通過向量關系求出數量積，然后利用二倍角公式、兩角和的正弦函數化簡函數為：，即可求函數f（x）的最大值，借助正弦函數的最大值求出相應的自變量x的取值集合；
（II）當且時，直接得到，求出，化簡的表達式，利用兩角和的正弦函數，整體代入，，求得的值．
點評：本題是中檔題，考查了向量的數量積的計算，二倍角和兩角和的正弦函數，三角函數的最值，考查轉化思想，整體代入思想，合理應用角的變形，二倍角公式的轉化，是本題的難點，注意總結應用．