Question

已知f（x）=x³-6ax²+9a²x（a∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）當a＞0時，若對?x∈[0，3]有f（x）≤4恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數f（x）進行求導，然后對a進行分析討論求f'（x）＜0的x的范圍．
（2）先根據導函數的解析式確定函數f（x）的單調性，然后根據a的不同范圍進行討論進而確定其答案．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-12ax+9a²=3（x-a）（x-3a）＜0
（1）當a=3a，即a=0時，f'（x）=3x²＞0，不成立．
（2）當a＞3a，即a＜0時，單調減區(qū)間為（3a，a）．
（3）當a＜3a，即a＞0時，單調減區(qū)間為（a，3a）．
（Ⅱ）f'（x）=3x²-12ax+9a²=3（x-a）（x-3a），
f（x）在（0，a）上遞增，在（a，3a）上遞減，在（3a，+∞）上遞增．
（1）當a≥3時，函數f（x）在[0，3]上遞增，
所以函數f（x）在[0，3]上的最大值是f（3），
若對?x∈[0，3]有f（x）≤4恒成立，需要有解得a∈φ．
（2）當1≤a＜3時，有a＜3≤3a，此時函數f（x）在[0，a]上遞增，在[a，3]上遞減，
所以函數f（x）在[0，3]上的最大值是f（a），
若對?x∈[0，3]有f（x）≤4恒成立，需要有解得a=1．
（3）當a＜1時，有3＞3a，此時函數f（x）在[a，3a]上遞減，在[3a，3]上遞增，
所以函數f（x）在[0，3]上的最大值是f（a）或者是f（3）．
由f（a）-f（3）=（a-3）²（4a-3），
①時，f（a）≤f（3），
若對?x∈[0，3]有f（x）≤4恒成立，需要有
解得．
②時，f（a）＞f（3），
若對?x∈[0，3]有f（x）≤4恒成立，需要有解得．
綜上所述，．
點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負情況之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．