Question

P_n（x_n，y_n）是函數(shù)y=x²（x≥0）圖象上的動(dòng)點(diǎn)，以P_n為圓心的⊙P_n與x軸都相切，且⊙P_n與⊙P_n+1又彼此外切，若x₁=1，x_n+1＜x_n．
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）設(shè)⊙P_n的面積為S_n，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圓Pn與P_n+1相切，且P_n+1與x軸相切可知R_n=Y_n，R_（n+1）=Y_（n+1），且兩圓心間的距離就等于兩半徑之和進(jìn)而得到=Y_n+Y_（n+1），整理得，=2，原式得證．
（2）由（1）可知 =2n-1，進(jìn)而求得x_n的通項(xiàng)公式，代入⊙P_n的面積即可求得的表達(dá)式為S_n=（ ）⁴，要證 ＜，只需證明（x₁）²+（x₂）²+…（x_n）²＜即可．根據(jù)1+（ ）²+（ ）²+…（ ）²=1+（ ）²+（ ）²+（ ）²+…（ ）2，且1+（ ）²+（ ）²+（ ）²+…（ ）²＜2，進(jìn)而可得1+（ ）²+（ ）²+…（ ）＜，進(jìn)而得T_n=＜
解答：解：（1）證：由⊙P_n與x軸都相切，知⊙P_n的半徑r_n=y_n=x_n²；又⊙P_n與⊙P_n+1外切，得：⇒（x_n-x_n+1）²=4y_ny_n+1=4x_n²x_n+1²．
由x_n＞x_n+1＞0得：x_n-x_n+1=2x_nx_n+1，
故是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
（2）S₁=π（x₁）⁴S₂=π（x₂）⁴…S_n=π（x_n）⁴
約去 證明（x₁）²+（x₂）²+…（x_n）²＜即可
由（1）知（x1）²+（x₂）²+…（x_n）²
=1+（ ）²+（ ）²+…（ ）²
因?yàn)?+（ ）²+（ ）²+（ ）²+…（ ）2
=[1+（ ）²+（ ）²+…（ ）^2]+[1+（ ）²+（ ）²+（ ）²+…（ ）²]
即1+（ ）²+（ ）²+…（ ）²=1+（ ）²+（ ）²+（ ）²+…（ ）2
又因?yàn)?1+[（ ）²+（ ）²+（ ）²+（ ）²+（ ）²+（ ）²]+（ ）²+…
＜1+[（ ）²+（ ）²+（ ）²+（ ）²+（ ）²+（ ）²+8（ ）²+…
=1+++…=2
即就是1+（ ）²+（ ）²+（ ）²+…（ ）²＜2
所以 1+（ ）²+（ ）²+…（ ）＜×2=
即1+（ ）²+（ ）²+…（ ）＜
所以 ＜
即
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列在實(shí)際中的應(yīng)用．本題在數(shù)列求和問題時(shí)，巧妙的用了分組法，屬于難題．