設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C滿足sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，則
sinAcotC+cosA
sinBcotC+cosB
的取值范圍是
(
5
-1
2
，
5
+1
2
)
(
5
-1
2
，
5
+1
2
)
．
分析：由sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，根據(jù)正弦定理得到三角形三邊成等比數(shù)列，把要求的式子整理，首先切化弦，通分，逆用兩角和的正弦公式，根據(jù)三角形內(nèi)角和之間的關(guān)系，最后角化邊，得到要求的范圍既是公比的范圍，用公比表示出三條邊，根據(jù)兩邊之和大于第三邊，得到不等式組，得到結(jié)果．
解答：解：由sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，
根據(jù)正弦定理得：a，b，c也成等比數(shù)列，
設(shè)三邊的公比是q，三邊為a，aq，aq2，
原式=
sinAcosC
sinC
+cosA
sinBcosC
sinC
+cosB

=
sinAcosC+cosAsinC
sinBcosC+cosBsinC

=
sin(A+C)
sin(B+C)

=
sinB
sinA
=q
由三角形的兩邊之和大于第三邊可得：
aq+aq2＞a，①a+aq＞aq2，②a+aq2＞aq，③
解三個(gè)不等式可得q ＞
5
-1
2
，0 ＜q＜
5
+1
2
，
綜上，所求式子的范圍為(
5
-1
2
，
5
+1
2
)．
故答案為：(
5
-1
2
，
5
+1
2
)
點(diǎn)評：此題考查了正弦定理，等比數(shù)列的性質(zhì)，三角函數(shù)的恒等變化，三角形內(nèi)角之間的關(guān)系，一元二次不等式的解法，等比數(shù)列的應(yīng)用，以及變量的范圍的求解，利用轉(zhuǎn)化的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=
3
2
sin2x-cos2-
1
2
，（x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且c=
3
，f（C）=0，若
m
=（1，sinA）與
n
=（2，sinB）共線，求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．若b=
3
，c=1，B=60°，則角C=
 
°．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c
（1）求證：acosB+bcosA=c；
（2）若acosB-bcosA=
3
5
c，試求
tanA
tanB
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
2
sin2x-cos2x-
1
2
，x∈R．
（Ⅰ）若x∈[
5
24
π，
3
4
π]，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值，并寫出相應(yīng)的x的值；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足c=
3
，f（C）=0，且sinB=2sinA，求a、b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，
（1）若a=1，b=2，cosC=
1
4
，求△ABC的周長；
（2）若直線l：
x
a
+
y
b
=1恒過點(diǎn)D（1，4），求u=a+b的最小值．

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