Question

已知數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}滿足：a₁=b₁=4，a₂=b₂=2，a₃=1，且數(shù)列{a_n+1-a_n}是等差數(shù)列，n∈N^*，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）問(wèn)是否存在k∈N^*，使得？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設(shè)可知，，由此能夠推出．
（Ⅱ）設(shè)，由題設(shè)條件知，由此入手能夠推導(dǎo)出存在k=5，使得．
解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)可知，，
∵a₂-a₁=-2，a₃-a₂=-1，
∴a_n+1-a_n=-2+（n-1）×1=n-3，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）=，
∴．
（Ⅱ）設(shè)，
顯然，n=1，2，3時(shí)，c_n=0，
又，
∴當(dāng)n=3時(shí)，，∴，
當(dāng)n=4時(shí)，，∴，
當(dāng)n=5時(shí)，，∴，
當(dāng)n≥6時(shí)，恒成立，
∴c_n+1=a_n+1-b_n+1＞3+c_n＞3恒成立，
∴存在k=5，使得．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．