Question

設(shè)f（x）=x²-2ax+2（a∈R），g（x）=lg^f（x）
（1）當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍；
（2）若g（x）的值域?yàn)镽，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)x∈[-1，+∞）時(shí)，f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒為非負(fù)，利用根的判別式小于等于0即可．
（2）若函數(shù)的值域?yàn)镽，則x²-2ax+2=（x-a）²+2-a²只須2-a²≤0即可．
（3）區(qū)分圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間[-1，+∞）的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)在對(duì)稱軸兩邊的單調(diào)性，求最小值即可解得a的取值范圍．

解答：解：（1）∵x∈R時(shí)，有x²-2ax+2-a≥0恒成立，
須△=4a²-4（2-a）≤0，即a²+a-2≤0，所以-2≤a≤1．
a的取值范圍-2≤a≤1；
（2）若函數(shù)的值域?yàn)镽，則x²-2ax+2=（x-a）²+2-a²
∴2-a²≤0，∴a≥

2

或a≤-

2

．
（3）f（x）=x²-2ax+2=（x-a）²+2-a²
f（x）圖象的對(duì)稱軸為x=a
為使f（x）≥a在[-1，+∞）上恒成立，
只需f（x）在[-1，?+∞）上的最小值比a大或等于a即可
∴①a≤-1時(shí)，f（-1）最小，解，解得-3≤a≤-1
  ②a≥-1時(shí)，f（a）最小，解

a≥-1 f(a)=2-a2≥a

解得-1≤a≤1
綜上所述，a的取值范圍是：3≤a≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)在給定區(qū)間上的恒成立問題，關(guān)鍵是討論對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為對(duì)稱軸左右單調(diào)性相反，從而確定函數(shù)最值，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值相結(jié)合是解題的關(guān)鍵．