Question

設f（x）=（k+1）x²-（2k+1）x+1，x∈R．
（1）若f（x）＞0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）若x∈（1，2）時，f（x²+2^x）＞0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）當k＜0時，解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）f（x）＞0恒成立，等價于

k+1＞0 △=(2k+1)2-4(k+1)＜0

，從而可求實數(shù)k的取值范圍；
（2）換元，x∈（1，2）時，f（x²+2^x）＞0恒成立，等價于3＜t＜8時，（k+1）t²-（2k+1）t+1＞0恒成立，分離參數(shù)，可得-k＜

t2-t+1

t2-2t

，求出函數(shù)的最值，即可求實數(shù)k的取值范圍；
（3）分類討論，確定對應方程根的情況，可得不等式的解．

解答：解：（1）f（x）＞0恒成立，等價于

k+1＞0 △=(2k+1)2-4(k+1)＜0

∴-

3

2

＜k＜

3

2

；
（2）令t=x²+2^x，在（1，2）上是增函數(shù)，所以3＜t＜8
x∈（1，2）時，f（x²+2^x）＞0恒成立，等價于3＜t＜8時，（k+1）t²-（2k+1）t+1＞0恒成立，
∴-k＜

t2-t+1

t2-2t

令g（t）=

t2-t+1

t2-2t

=1+

t+1

t2-2t

，令u=t+1，u∈（4，9）
則G（u）=1+

u

u2-4u+3

=1+

1

u+ 3 u -4

∵

1

u+ 3 u -4

在（4，9）上是增函數(shù)，且

3

4

＜

1

u+ 3 u -4

＜

16

3

∴

19

16

＜G（u）＜

7

3

∴-k≤

19

16

，∴k≥-

19

16

；
（3）△=4k²-3
1°-

3

2

＜k＜0時，k+1＞0，△＜0，原不等式解為一切實數(shù)；
2°k=-

3

2

時，k+1＞0，△=0，原不等式解為{x|x≠5-3

3

}；
3°-1＜k＜-

3

2

時，k+1＞0，△＞0，原不等式解為{x|x＞

2k+1+ 4k2-3

2(k+1)

或x＜

2k+1- 4k2-3

2(k+1)

}；
4°k=-1時，原不等式解為x＞-1
5°k＜-1時，k+1＜0，△＞0，原不等式解為（x|

2k+1- 4k2-3

2(k+1)

＜x＜

2k+1+ 4k2-3

2(k+1)

}

點評：本題考查恒成立問題，考查解不等式，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．