Question

已知圓C經(jīng)過點(diǎn)P₁（1，0），P₂（1，2），P₃（2，1），斜率為k且經(jīng)過原點(diǎn)的直線l與圓C交于M、N兩點(diǎn)．點(diǎn)G為弦MN的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求圓C的方程
（Ⅱ）當(dāng)

OC

•

OG

取得最大值時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)圓C的方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）（1分）
則

1+D+F=0 1+4+D+2E+F=0 4+1+2D+E+F=0

，解得

D=-2 E=-2 F=1

∴圓C的方程x²+y²-2x-2y+1=0，化成標(biāo)準(zhǔn)形式得（x-1）²+（y-1）²=（15分）
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），G（x₀，y₀）
由

y=kx x2+y2-2x-2y+1=0

，消y得（1+k²）x²-2（k+1）x+1=0（7分）
由題意得△=4（1+k）²-4（1+k²）＞0，解出k＞0（8分）
x1+x2=

2(1+k)

1+k2

，即x0=

(1+k)

1+k2

，y0=

k(1+k)

1+k2

∴點(diǎn)G(

(1+k)

1+k2

，

k(1+k)

1+k2

)
又∵

OC

=(1，1)（9分）
∴

OC

•

OG

=

k+1

k2+1

+

k2+k

k2+1

=

k2+2k+1

k2+1

=1+

2k

k2+1

=1+

2

k+ 1 k

∵

2

k+ 1 k

≤

2

2 k• 1 k

=1，∴

OC

•

OG

=1+

2

k+ 1 k

≤2（13分）
因此，可得當(dāng)k=

1

k

即k=1時(shí)，

OC

•

OG

取得最大值是2（13分）
此時(shí)直線l的方程為y=x（14分）