已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），k（A）表示ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個數(shù)．
（1）已知集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分別求k（P）和k（Q）；
（2）若集合A={2，4，8，…，2n}，證明：數(shù)學(xué)公式；
（3）求k（A）的最小值．

解：（1）由題意知K（P）中的值有6，8，10，12和14五個值，∴k（P）=5，
K（Q）中的值有6，10，18，12，20，24，∴k（Q）=6
（2）證明：ai+aj（1≤i＜j≤n）共有個
所以
下面證明所有ai+aj（1≤i＜j≤n）各不相同
任取ai+aj和ak+al（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n）
當(dāng)j=l時，若ai+aj=ak+al，則ai=ak，矛盾
當(dāng)j≠l時，若ai+aj=ak+al，則ai+aj＜2aj=2j+1≤al＜ak+al
即ai+aj≠ak+al
所以所有ai+aj（1≤i＜j≤n）各不相同，所以
（3）不妨設(shè)a1＜a2＜＜an，
所以a1+a2＜a1+a3＜＜a1+an＜a2+an＜＜an-1+an
所以ai+aj（1≤i＜j≤n）中至少有2n-3個不同的數(shù)，即k（A）≥2n-3
取A={1，2，3，，n}，則ai+aj∈{3，4，5，，2n-1}共2n-3個
所以k（A）的最小值2n-3
分析：（1）由題意知k（P）=5，k（Q）=6
（2）ai+aj（1≤i＜j≤n）共有個．所以．然后利用題設(shè)條件證明所有ai+aj（1≤i＜j≤n）各不相同．
（3）設(shè)a1＜a2＜＜an，所以a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+an＜a2+an＜…＜an-1+an．由此能夠推出k（A）的最小值2n-3．
點評：本題考查集合與元素的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A=a1，a2，…，an中的元素都是正整數(shù)，且a1＜a2＜…＜an，對任意的x，y∈A，且x≠y，有|x-y|≥
xy
25
．
（Ⅰ）求證：
1
a1
-
1
an
≥
n-1
25
；    
（Ⅱ）求證：n≤9；
（Ⅲ）對于n=9，試給出一個滿足條件的集合A．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A=a1，a2，a3，…，an，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分別求l（P）和l（Q）；
（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2n，求證：l(A)=
n(n-1)2
；
（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={a1，a2，…，an}中的元素都是正整數(shù)，且a1＜a2＜…＜an，對任意的x，y∈A，且x≠y，都有|x-y| ≥
xy
36
．
（1）求證：
1
a1
-
1
an
≥
n-1
36
；（提示：可先求證
1
ai
-
1
ai+1
≥
1
36
（i=1，2，…，n-1），然后再完成所要證的結(jié)論．）
（2）求證：n≤11；
（3）對于n=11，試給出一個滿足條件的集合A．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個數(shù)．
（1）設(shè)集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分別求l（P）和l（Q）的值；
（2）若集合A={2，4，8，…，2n}，求l（A）的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={a1，a2，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個數(shù)．
（Ⅰ）若集合A={2，4，8，16}，則l（A）=
 
；
（Ⅱ）當(dāng)n=108時，l（A）的最小值為
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案