Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為

3

的直線交C于A、B兩點(diǎn)，若

AF

=4

FB

，則雙曲線C的離心率為

6

5

．

Answer 1

分析：設(shè)直線AB的方程為y=

3

（x-c），與雙曲線方程消去x并化簡(jiǎn)得（

1

3

b2-a²）y²+

2 3

3

b²cy+b⁴=0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系得到y(tǒng)₁+y₂=

2 3 b2c

3a2-b2

，y₁y₂=

-3b4

3a2-b2

．由于

AF

=4

FB

，得到y(tǒng)₁=-4y₂代入上式消去y₂得關(guān)于a、b、c的等式，結(jié)合b²=c²-a²解之得c=

6

5

a，再結(jié)合雙曲線的離心率公式即可算出題中雙曲線C的離心率．

解答：解：∵直線AB過(guò)點(diǎn)F（c，0），且斜率為

3

∴直線AB的方程為y=

3

（x-c）
與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1消去x，得（

1

3

b2-a²）y²+

2 3

3

b²cy+b⁴=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=

2 3 b2c

3a2-b2

，y₁y₂=

-3b4

3a2-b2

∵

AF

=4

FB

，可得y₁=-4y₂
∴代入上式得-3y₂=

2 3 b2c

3a2-b2

，-4y₂²=

-3b4

3a2-b2

消去y₂并化簡(jiǎn)整理，得

4

3

c2=

3

4

(3a2-b2)
將b²=c²-a²代入化簡(jiǎn)，得c2=

36

25

a2，解之得c=

6

5

a
因此，該雙曲線的離心率e=

c

a

=

6

5

故答案為：

6

5

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線的斜率為

3

的焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成1：4的兩部分，求雙曲線的離心率．著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和直線與圓錐曲線位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．