已知雙曲線C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
2
,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,-
10
).
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)F1、F2為雙曲線C的左、右焦點(diǎn),若雙曲線C上一點(diǎn)M滿足F1M⊥F2M,求△MF1F2的面積.
(Ⅰ)∵雙曲線C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,
∴設(shè)雙曲線的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1
,
∵離心率為
2

e=
c
a
=
2
,∴a=b,
又∵雙曲線過(guò)點(diǎn)(4,-
10
)

16
a2
-
10
a2
=1
,解得a2=6,
∴所求雙曲線C的方程為
x2
6
-
y2
6
=1
.…(4分)
(Ⅱ)∵c2=a2+b2=12,∴F1(-2
3
,0)
,F2(2
3
,0)
,
設(shè)M(x0,y0),
F1M
=(x0+2
3
,y0)
F2M
=(x0-2
3
,y0)
,
∵F1M⊥F2M,∴
F1M
F2M
=0
,即
x20
+
y20
=12
,
又∵
x20
-
y20
=6
,∴
x20
=9
y20
=3

S△MF1F2=
1
2
|F1F2|•|y0|=
1
2
×4
3
×
3
=6
.…(10分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知兩點(diǎn)F1(-
2
,0)
,F2(
2
,0)
,滿足條件|PF2|-|PF1|=2的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是曲線E,直線l:y=kx-1與曲線E交于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求k的取值范圍;
(Ⅱ)如果|AB|=6
3
,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知點(diǎn)P是橢圓16x2+25y2=1600上一點(diǎn),且在x軸上方,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),直線PF2的斜率為-4
3
,則△PF1F2的面積為( 。
A.32
3
B.24
3
C.32
2
D.24
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F與雙曲
x2
4
-
y2
5
=1
的右焦點(diǎn)重合,拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K,點(diǎn)A在拋物線上且|AK|=
2
|AF|
,則A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為( 。
A.2
2
B.3C.2
3
D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知F1,F(xiàn)2是橢圓
x2
16
+
y2
9
=1
的兩焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F2的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),在△AF1B中,若有兩邊之和是10,則第三邊的長(zhǎng)度為_(kāi)_____.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知三角形△ABC的兩頂點(diǎn)為B(-2,0),C(2,0),它的周長(zhǎng)為10,求頂點(diǎn)A軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知雙曲線的方程為5x2-4y2=20兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2
(1)求此雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程;
(2)若橢圓與此雙曲線有共同的焦點(diǎn),且有一公共點(diǎn)P滿足|PF1|•|PF2|=6,求橢圓的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

從圓O:x2+y2=4上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線,垂足為P′,點(diǎn)M是線段PP′的中點(diǎn),則點(diǎn)M的軌跡方程是( 。
A.
9x2
16
+
y2
4
=1
B.
9y2
16
+
x2
4
=1
C.x2+
y2
4
=1
D.
x2
4
+y2=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,橢圓的兩頂點(diǎn)為A(
2
,0)
,B(0,1),該橢圓的左右焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2
(1)在線段AB上是否存在點(diǎn)C,使得CF1⊥CF2?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)設(shè)過(guò)F1的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),求△PQF2面積的最大值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案