Question

已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=x²-1的圖象關(guān)于點(diǎn)P（1，0）成中心對(duì)稱，
（1）f（x）的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m、n，滿足f（x）定義域?yàn)閇m，n]時(shí)，值域?yàn)閇m，n]，若存在，求m、n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）在y=f（x）上任取點(diǎn)（x，y），由二次函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=x²-1的圖象關(guān)于點(diǎn)P（1，0）成中心對(duì)稱可得：（2-x，-y）在y=x²-1上，代入整理可得f（x）的解析式；
（2）由f（x）≤1，可得n≤1＜2，故f（x）在區(qū)間[m，n]上是單調(diào)遞增函數(shù)，即則f（x）=x有兩個(gè)不等實(shí)根m、n，即x²-3x+3=0有兩個(gè)不等實(shí)根m、n，判斷△的符號(hào)，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）在y=f（x）上任取點(diǎn)（x，y），
∵二次函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=x²-1的圖象關(guān)于點(diǎn)P（1，0）成中心對(duì)稱，
∴（2-x，-y）在y=x²-1上，
則有-y=（2-x）²-1，
即y=-（x-2）²+1
∴f（x）=-（x-2）²+1
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m、n，滿足題意，
∵f（x）≤1，
∴n≤1＜2，
∴f（x）在區(qū)間[m，n]上是單調(diào)遞增函數(shù)
則f（x）=x有兩個(gè)不等實(shí)根m、n，
即x²-3x+3=0有兩個(gè)不等實(shí)根m、n
∵△=3²-4×3=-3＜0，方程無解．
∴不存在

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)是二次當(dāng)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的對(duì)稱變換，函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，是函數(shù)，方程，不等式的綜合應(yīng)用，難度中檔．