Question

在直線y=x-2上是否存在點(diǎn)P，使得經(jīng)過點(diǎn)P能作出拋物線y=

1

2

x2的兩條互相垂直的切線？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：假設(shè)這樣的點(diǎn)P存在，由題意可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為P（m，m-2），又設(shè)所作的兩條切線為PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)，且點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為：A(a，

1

2

a2)，B(b，

1

2

b2)．因?yàn)楹瘮?shù)y=

1

2

x2的導(dǎo)函數(shù)為y'=x，所以由兩切線垂直可得ab=-1，由此能夠推導(dǎo)出存在這樣的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為P(

3

2

，-

1

2

)．

解答：解：假設(shè)這樣的點(diǎn)P存在，由題意可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為P（m，m-2），又設(shè)所作的兩條切線為PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)，且點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為：A(a，

1

2

a2)，B(b，

1

2

b2)．
因?yàn)楹瘮?shù)y=

1

2

x2的導(dǎo)函數(shù)為y'=x，
所以由兩切線垂直可得ab=-1，
且：

1 2 a2-(m-2) a-m =a 1 2 b2-(m-2) b-m =b

即，

a2-2ma+2(m-2)=0 b2-2mb+2(m-2)=0

．
故a，b是方程x²-2mx+2（m-2）=0的兩實(shí)數(shù)根，
從而有：ab=2（m-2）=-1．解得：m=

3

2

．
所以，存在這樣的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為P(

3

2

，-

1

2

)．

點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓、橢圓的相關(guān)知識．